一、一类非线性波动方程组整体解存在性（论文文献综述）
华洋[1]（2021）在《两类Rosenau方程解的研究》文中提出非线性波动方程是一类常用于描述自然现象的数学模型,也是非线性数学物理领域的前沿课题之一,相比单一的理论研究现在更侧重于结合实际应用。通过研究非线性波动方程的解,有助于推动物理学、工程技术等相关学科的发展。本文研究如下两类Rosenau方程Cauchy问题的解:一类经典Rosenau方程和一类具有Stokes阻尼项的六阶非线性波动方程。本文主要内容如下:第一章介绍非线性波动方程的物理背景、研究意义及国内外研究状况与发展态势。第二章研究一类经典Rosenau方程的Cauchy问题。当f（u）=β|u|pu,β<0和初始能量E（0）>0时,利用势井法得到了其解的整体存在性。第三章研究具有Stokes阻尼项的六阶非线性波动方程Cauchy问题解的整体存在性,爆破及其渐近性。基于所构造的势井,用凹度法证明了解的整体存在性和爆破。最后,利用乘子法得到解的渐近性。
李晓婉[2]（2021）在《几类非线性波型方程的定性分析》文中认为波方程是一类重要的微分方程,用于描述自然界中的各种波动现象,例如声波、光波、电磁波和水波等.本文主要对几类非线性波型方程,包括Camass-Holm方程,Schr（?）dinger方程及相关方程组进行定性分析,研究其行波解的存在性、解的适定性和波裂现象等.首先,考虑Camassa-Holm-Kadomtsev-Petviashvili（Camassa-Holm-KP）方程的孤波解.通过相空间分析方法,给出了无时滞情形Camassa-Holm-KP方程平衡点的基本性质,得到了孤波解的存在性.进而,通过发展几何奇异摄动理论,证明了时滞情形Camassa-Holm-KP方程孤波解的存在性.同时,通过分析Abel积分的比值得到了非线性强度为1的时滞Camassa-Holm-KP方程波速的单调性结果.然后,考虑耦合Schr（?）dinger方程组的孤波解.对于无时滞情形,利用常微分方程方法,给出了三类特殊的孤波解.在此基础上,进一步考虑相应的时滞系统,结合不变流形理论和Fredholm理论,构造了时滞系统的不变流形,得到了相应的同宿轨道,进而建立了时滞耦合Schr（?）dinger方程组孤波解的存在性结果.最后,考虑两组分Camassa-Holm系统和相应修正系统的局部适定性与波裂现象.利用Kato定理,分别建立了两类系统解的局部适定性,并给出了波裂产生的条件。
黎明堃[3]（2020）在《两类带有双色散项的非线性发展方程（组）的初边值问题》文中研究表明非线性波动方程是偏微分方程中的一个重要研究领域。在物理问题中,非线性,色散及耗散这三种因素影响着弹性杆内波的传播。其中,非线性项会使波前变陡甚至破裂,而色散与耗散可以减少波前斜率,制止波发生破裂,从而使弹性杆内波产生最终的稳态。本文共分为三章讨论带有双色散项的非线性发展方程（组）的初边值问题。本文第一章介绍了带有双色散项的非线性发展方程（组）的问题背景。本文第二章用Galerkin方法研究了一类带有双色散项的非线性发展方程组（2.1）-（2.3）)整体强解的存在性与唯一性。本文第三章利用位势井方法证明了一类带有双色散项的非线性发展方程整体弱解的存在性,整体强解的存在性与唯一性。
姚华珍[4]（2020）在《几类非线性弹性结构的无穷维动力系统研究》文中提出非线性弹性结构是固体力学中最重要的研究内容之一,更是非线性动力学主要的研究对象,而关于非线性动力学解决的主要问题是正确认识和理解系统中所呈现的分叉,混沌,分形,孤立子等复杂动力学现象,其中混沌动力学是本文主要研究对象,它架起了决定论与概率论之间的桥梁,而研究混沌动力学最好的工具之一就是吸引子。在本篇论文中,主要是基于描述固体结构的动力学模型的诸多研究结果上,对杆梁类的弹性结构在增加复杂项,变系数阻尼,维数等方面加以推广,将理论证明方法应用到推广后复杂的非线性动力系统中,考虑了四类无穷维动力系统的长时间动力学行为。主要工作如下:1.研究了一类具有非线性阻尼和非线性外力项的弹性结构的动力学行为,利用经典的算子半群理论,证明了该系统解的存在唯一性,利用经典的算子半群分解方法,证明了该无穷维动力系统存在整体吸引子。系统为:（?）2.研究了一类具有非线性阻尼和外源项的耗散型 Sine-Gordon-Kirchhoff弹性结构动力系统的整体吸引子的存在性,主要是利用Galerkin逼近法和先验估计来证明。首先通过先验估计证明系统存在唯一的整体解,再证明系统存在有界吸收集和算子半群光滑性质,最后得到该无穷维动力系统存在整体吸引子。系统如下:（?）无穷维动力系统中整体吸引子的研究比较理想化,它的研究工作已趋于完善,越来越多的学者开始在此基础上,研究非线性弹性结构中驱动力与时间有关的一致吸引子,或者是考虑更实际的情况,加上白噪声,改变边界条件等更复杂的情形下的动力系统,所以我们接下来的部分将在以上基础上研究更为复杂的情形,即研究带有白噪声的弹性结构的无穷维动力系统,又称为随机动力系统。3.研究了一类带有变系数非线性阻尼和带有白噪声的非自治弹性结构的动力学行为,其中非线性阻尼具有临界立方增长率,通过证明随机变量在随机动力系统中的拉回渐近紧性,我们证明了随机动力系统中随机吸引子的存在性。系统为:（?）4.讨论了一类带有白噪声和Neumann边界条件的自治型弹性结构的动力学行为,通过吸收集,紧性的存在性证明,得到了随机吸引子的存在性,从而了解系统解的长时间行为。系统如下:（?）
徐传海[5]（2020）在《典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究》文中研究说明非线性现象是普遍存在于自然界中,而研究非线性现象的非线性科学更是与各种学科都有着紧密联系,很多的复杂问题都可以用非线性系统建立模型,从而对非线性系统的研究就显得格外重要。孤立子理论是非线性研究中的重要的一支,是当今非线性学科的热门内容和课题。对非线性系统孤立波解的研究有助于人们理解系统里的运动变化,从而揭示现象背后的本质规律,在物理学和工程技术领域体现了极大的应用价值。在过去的几十年里,随着计算机硬件和软件技术的发展,在应用数学和工程领域的研究方法得到了创新,我们的计算能力得到了很大的提升,绘图能力也得到了加强,可以全方位、多角度的去观察,也可以深入图像的局部进入微观领域中。这也很大程度地提高了关于非线性演化方程的求解和绘图能力,使我们在对孤立子的研究上走的更深更远。本文研究了非线性色散波方程的精确行波解,运用动力系统理论分叉方法和几何奇异摄动理论,对含有奇异线的非线性演化方程进行了讨论研究,展示了其内部随参数变化的丰富的孤立波解,给出了解的解析表达式,并作出了解的二维和三维图像;同时对时滞扰动下的部分孤波解的稳定性进行了研究,得到了相应的结果。具体工作如下:第一、二章是绪论和基本理论,综述了非线性演化方程的研究背景、研究进展和现状,介绍了孤立子理论及其主要的研究方法和本文采用的动力系统首次积分方法,同时介绍了在精确解的求解过程中经常要用到的椭圆积分函数。第三章研究了含有单奇异线的双组份Degasperis-Procesi方程,通过时间尺度变换,将奇异行波系统转化为正则动力系统。因为这样的含有单奇异线双组份Degasperis-Procesi方程的典型性,对这个方程进行了最为详细的分析讨论,对其精确孤立波解和图像进行了完全的展示。通过对参数变化范围的讨论,求得了方程含有的丰富的精确行波解,有kink和anti-kink解、compacton解、anti-compacton解、peakon解、valleyon解、周期compacton解、周期anti-compacton解、周期peakon解、周期valleyon解、loop解、anti-loop解、周期loop解、一些无界解以及第二个变量txv),（出现的新型的不连续解及其周期解等。这些解的动力学性质和参数所满足的条件相对应,在参数连续变化过程中,可以看出解进行了怎样的对应变化。第四章从定性角度研究了含有双奇异线的双组份Degasperis-Procesi方程的行波解,这时的首次积分已不再是有理形式,我们借助于微分方程定性理论,将奇异系统转化为正则系统,根据双组份DP方程正则系统的相图轨道的定性性质,判断出方程含有的丰富的孤立波解,包括尖波解、光滑周期波解、正圏孤子解、周期圏孤子解、光滑的峰形孤立波解、无界解等,并且在参数取一些特殊值的条件下,求出了孤立波解的精确表达式。第五章研究了广义浸入色散K（2,2）方程的行波解,运用动力系统理论分叉方法,分析其动力学性质,对系统的相图轨道进行讨论,得到了浸入色散K（2,2）方程的圈孤立波解、周期圈孤立波解、扭波和反扭波解、尖峰孤立波解、周期尖波解、光滑孤立波解、周期光滑孤立波解以及一些无界解等。同时通过系统的动力学行为,对尖峰孤立波解的产生机理进行了讨论,得出了在不同参数变化时,周期尖波解和光滑孤立波解的变化,它们共同向尖峰孤立波解转变。最后与其他参考文献结论的比较说明了色散扰动项不改变原来解的分布。第六章研究了广义色散Degasperis-Procesi方程的行波解,通过动力系统理论分叉方法,对系统的相图轨道进行分析,得到了广义色散Degasperis-Procesi方程的丰富的精确解,像圈孤立波解、周期圈孤立波解、扭波和反扭波解、尖峰孤立波解、周期尖波解、光滑孤立波解、周期光滑孤立波解以及一些无界解等。同时对尖峰孤立波解的产生机理进行了讨论,最后通过解的比较说明了色散扰动项不改变原来解的分布。第七章研究了时滞扰动条件下Schr?dinger方程的扭结波和反扭结波解的存在性,在分布延迟核是强核时,将具有时滞扰动的方程转化为一个无延迟的四维常微分系统。由于时滞系数?足够小,四维常微分系统是一个标准奇异摄动系统。通过奇异摄动理论,结合Melnikov函数方法证明了时滞Schr?dinger方程在（27）（27）（27）?10,（10）-（28）Oc）(1?条件下存在扭结波和反扭结波解。第八章研究了时滞扰动条件下Schr?dinger方程的周期波解的存在性,通过奇异摄动理论和Melnikov函数方法,结合数学计算软件证明了时滞Schr?dinger方程存在周期波解。第九章对全文进行了总结,并提出了展望。
张舒心[6]（2020）在《压差方程大初值问题弱解的存在性》文中认为本文利用改进的Glimm格式讨论了压差方程组Cauchy问题弱解的存在性,包括大初值问题和周期问题两种情况.压差方程组是Euler方程在只考虑压差效应情况下的一种近似.对于大初值问题,我们首先研究了在Riemann不变量坐标中压差方程组激波曲线的几何性质,证明了随着左状态的改变,由左状态发出的激波曲线满足Diperna条件.再利用Glimm格式构造近似解,考虑在一个“菱形”内基本波的相互作用,建立了精确的基本波的相互作用估计,并通过构造合适的Glimm泛函,证明了波的强度的单调性以及近似解及其全变差的有界性,从而得到大初值解的存在性.对于周期问题,Frid对这类方程的周期解存在性进行了研究,但由于没有充分考虑Glimm格式随机取点在近似解中的作用,需要对初值加较强的条件,通过对近似解的延拓等较复杂的步骤而得到周期解的存在性.这一问题在[56]中得到了改进.在[56]中证明了 一个重要性质:在任意时刻,解在一个周期上的平均值保持不变.本文利用这个性质,并利用压差方程激波曲线的性质,用Glimm格式构造近似解,从而得到了弱解全变差有界及其存在性。
唐秀丽[7]（2019）在《Kirchhoff椭圆方程和方程组的解的存在性及性质》文中认为本文主要研究R3上Kirchhoff方程和Kirchhoff系统解的存在性和渐近行为.主要工作分为以下四个部分.首先,考虑一类 Kirchhoff 方程的多解性:-（a+b∫R3丨▽u丨2dx）△u+u=丨u丨p-2u,u∈H1（R3）,其中a>0,b≥0,2<p<6.通过构造一个新的Pohozaev型变分恒等式和约束集,我们证明了方程径向对称解的存在性以及非径向对称解的存在性.此外,非径向对称解u（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.其次,对于一类波动系统的稳定态情形 u,v∈H1（R3）,通过建立变分恒等式和约束集,我们证明了对于as>0,bs≥0（s=1,2）,d≥0,b1+b2+d≠0以及满足2<Q:=p+q<6的p,q>1,该系统有一个基态解,一个径向对称解以及一个非径向对称解.并且,非径向对称解u（x1,x2,x3）及v（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.对于取定的a1>0和a2>0,当b12+b22+d2→0,径向对称解收敛到下面系统的径向对称解-a1△u+u=p/Q丨u丨p-2u丨v丨q,-a2△v+v=q/Q丨u丨p丨v丨q-2v,u,v ∈Hr1（R3）.接下来,对于线性耦合的Kirchhoff型系统 u,v∈H1（R3）,证明了对于as>0,bs≥0（s=1,2）,d≥0,b1+b2+d≠0,2<p<6,以及0<λ<1,该系统有一个基态解,一个径向对称解以及一个非径向对称解.并且,非径向对称解u（x1,x2,x3）及v（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.对于取定的a1>0和a2>0,当b12+b22+d2→0,径向对称解收敛到下面系统的径向对称解-a1△u+u=丨u丨p-2u+λv,-a2△v+v=丨v丨p-2v+λu,u,v∈Hr1（R3）.最后,通过建立一个新的变分约束,证明了a1>0,a2>0;b1>0,b2>0,d≥0;α>1,β>1满足2<α+β=p<6;对于适当的λ,系统存在一个基态解（u,v）∈H1（R3）×H1（R3）,u>0,v>0.这一结果推广了 Lin和Wei（Commun.Math.Phys.255（2005）,629-653）及 Sirakov（Commun.Math.Phys.271（2007）,199-221）的部分成果.当a1=a2及b1=b2,还研究了几种特殊形式解的存在性和不存在性.
孟凡玲[8]（2020）在《两类非线性波方程（组）解的适定性研究》文中提出本文主要针对两类具非线性阻尼及非线性源项的波动方程（组）在三种不同初始能级（次临界初始能级、临界初始能级和超临界初始能级）下解的适定性问题进行了研究,旨在揭示解的定性性质对初值的依赖性,进而更好地完善和发展位势井理论。第二章主要针对一类具非线性强弱阻尼及非线性源项的波动方程解的适定性问题在全能级状态下进行了研究。该问题的物理模型可用以描述力学中粘弹性结构的纵向运动,也可以看作是控制粘弹性结构的纵向运动系统,遵循非线性Voight模型。本章首先引入了总能量泛函、势能泛函、Nehari泛函及井内（稳定）集合和井外（不稳定）集合,构造出相应的位势井理论框架与位势井深度及一些相关性质。而后,利用Galerkin方法在次临界初始能级下给出了解的整体存在性,并借助Gronwall和插值不等式讨论了解的渐近行为,还利用改进的凹函数方法得到了解的有限时间爆破。再次,应用尺度变换的思想将次临界初始能级下的结论平行推广到了临界初始能级。最后,对于超临界初始能级,本章寻求了新的初值条件并找到了适当的辅助函数来得到解的有限时间爆破。此外,本章还估计了任意正初始能级下解的爆破时间下界。第三章主要针对一类具非线性强弱阻尼及非线性源项的波动方程组的初边值问题进行了研究。本章主要关注两个具非线性强弱阻尼及非线性源项的波动方程的耦合对解的适定性的影响。首先,本章利用Galerkin方法结合压缩映像原理得到了方程组定解的局部存在性,并引入了总能量泛函、势能泛函和Naheri泛函以构建出位势井理论框架。再在次临界和临界两个不同的初始能级下,利用Galerkin方法和改进的凹函数方法分别得到解的整体存在与有限时间爆破,而后借助Gronwall等重要不等式讨论了方程组的定解在次临界初始能级下的渐近行为。最后,本章通过引入新的辅助函数结合改进的凹函数法给出了解在任意正初始能级下有限时间爆破的结果。
王宇彤[9]（2019）在《带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性》文中进行了进一步梳理本文研究了带有不同非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性,主要考虑两类分别含有不同的耗散机制的方程.第一类为拟抛物方程,如半线性拟抛物方程和广义BBM方程.对于半线性拟抛物方程,我们关注了解的适定性以及方程中出现的Fujita指标与初值的关系.对于广义BBM方程,在大初值的情形下,方程含有的热扩散项与非线性项的竞争机制是我们主要研究的问题和面对的困难,同时我们还关注了方程在非零常状态下大扰动解表现出来的双曲特性.第二类方程是各向异性退化抛物方程,我们分别考虑了带退化扩散项的广义BBM方程以及在流体和磁场中都在同一个方向上退化扩散的磁流体方程组.由于耗散机制的退化,在某些方向上无法看到粘性效果,这是我们面对的主要困难.我们将分别考虑这两类方程的Cauchy问题的解的适定性和衰减性态等.具体内容如下:第一章为绪论,我们介绍了在本文中大量用到的Green函数方法.接着介绍了本文中考虑的三类方程:半线性拟抛物方程,广义BBM方程和磁流体方程组的物理背景,研究历史和已有的工作,最后陈述了本文研究的问题和主要结果.第二章中,我们研究了多维空间中一类半线性拟抛物方程在小初值情况下解的整体存在性和逐点估计.首先利用频域分解的方法,得到了 Green函数的逐点估计,同时对在方程变形中出现的非局部化算子进行了处理.接着,采用[76]中提出的整体迭代法,不需要证明局部解的存在性,而是利用解的衰减性质直接得到了整体经典解的存在唯一性和衰减估计.在这个基础上,我们又利用Green函数得到了解的逐点估计,并给出了方程解存在的Fujita指标的范围.最后,我们考虑初值所在空间与Fujita指标的关系,通过定义初值在某些负指数Sobolev空间,扩大了 Fujita指标的范围,即扩大了解存在的范围并对应有更好的衰减.就作者所知,目前已有很多文献中提到过负指数空间会对解的衰减产生影响,但尚无结果提到负指数空间对解的范围产生的影响.第三章中,我们考虑了广义BBM方程在三维空间中的Cauchy问题在非零常状态附近大扰动解的整体存在性,衰减估计以及逐点估计.我们主要面临的困难有:首先,大扰动失去了小性,使得我们不再能够利用先验估计等假设;其次,方程带有非局部化算子,使得我们没有像带粘性的Burgers方程一样的最大模原理;同时我们还有非线性项无法被控制的困难.本章分为三个部分,第一部分中,通过构造Cauchy收敛列的方法得到了解的局部存在性.接着,利用经典的Fourier方法,得到解的Green函数的逐点估计,并对方程做了变换,利用新的方程解的L2有界来导出原方程的解的H2有界,从而通过Sobolev嵌入定理得到解的L∞有界性.利用这一有界性,可以提高解本身的正则性,再结合局部解的存在性从而得到解的整体存在性.第二部分,考虑了解的衰减估计,此时,用通常的长短波分解的方法已不再可行,为此,我们利用了新的方法,利用与时间相关的时频分解,将解分成两部分后分别用Green函数和精细能量估计进行处理,得到了解的Hs衰减估计.第三部分考虑了方程大扰动解的逐点估计,在缺少了小扰动的小性的情况下,我们充分利用了已经得到的解的L∞有界和衰减,利用时间的衰减作为小性的替代,克服了这一困难.从以上逐点估计中可以更清晰地看到解的大时间行为,我们发现方程的解在具有抛物方程性态的同时,还表现出了双曲的特性.在零状态下的扰动看不到这种双曲性态,而非零常状态情况下的扰动可以让我们看到,方程的解在扩散的同时,其主体又将沿着某一条与非零常状态相关的直线移动,并且在沿着这条直线的方向上衰减速度最慢.在第四章中,我们研究了带有退化扩散项的广义BBM方程在小扰动情况下解的整体存在性和衰减性态.我们面临的主要困难在于扩散项的退化导致在某一个方向上没有粘性效应,也不再满足Shizuta-Kawashima条件,因而通常抛物方程的研究方法在这里并不适用.为此,我们充分借助了其他方向上的粘性效果转化为阻尼作用,证明了方程解的整体存在性及衰减.本章首先通过迭代的方法得到了局部存在性.接着在进行局部解延拓时,先得到了解的Green函数估计,再利用先验假设和能量估计的方法,将非线性部分分成两个方向进行处理,在有粘性效应的切向上利用粘性项控制,在退化的法向上则利用分部积分等,得到了解在Hs空间中的有界性.最后,在研究解的衰减情况时,采用了高低频分解的办法,切向低频的部分利用Duhamel原理以及各向异性空间的不等式技巧,切向高频部分则利用Poincaré-like不等式及能量估计,从而得到了小扰动解的整体存在性和衰减估计.第五章中,我们研究了带有退化扩散项的磁流体力学方程组（MHD方程组）在小扰动情况下Cauchy问题的解的整体存在性和大时间行为.此时除了扩散项的退化带来的困难之外,方程组相较于方程的复杂性也使得难度有进一步的增加.为此,首先我们利用Duhamel原理,证明通过方程构造的映射为压缩映射,利用不动点原理得到了解的局部存在性.接着,为了证明解的存在性,我们主要分为三个步骤进行考虑.首先,在先验假设的前提下,借助能量估计的手段,并利用方程的对称性,使得流体方程和磁场方程在处理之后相加可以部分抵消,从而先得到了解的Hs有界性.接着在进行解的衰减估计时,利用频域分解的办法,在低频部分利用Green函数的办法,并借助大量各向异性空间的不等式技巧进行处理,在高频部分时则仍旧利用Poincaré-like不等式及能量估计得到了解的Hs衰减性态.最后通过类似的方法得到了解的L∞衰减估计.这样便封闭了先验估计,再利用经典的连续性方法便可以将局部解延拓至整体,从而得到解的整体存在性和大时间的衰减行为.
刘慧敏[10]（2019）在《Euler-Poisson方程组及其相关模型的极限理论研究》文中提出本论文研究Euler-Poisson方程组及其相关模型的近似逼近理论.在流体力学模型中,Euler-Poisson方程组及其相关模型用来描述半导体器件或等离子体的运动.通过对Euler-Poisson方程组及其相关模型的理论研究,不仅可以丰富模型关于解的适定性理论,而且可以促进我们更深入地了解量子等离子体模型与经典等离子体模型之间本质的区别与联系.离子Euler-Poisson方程组（即离子声波）以及电子Euler-Poisson方程组（即Langmuir波）分别来源于Euler-Maxwell系统的低频以及高频震荡部分.Euler-Maxwell系统是用来描述等离子体动力学的双流体模型,其中可压缩离子流和电子流与其自身的自洽电磁场相互作用.即使只考虑线性化的情形,也会出现离子声波、Langmuir波以及光波.在非线性情形下,Euler-Maxwell系统是许多着名的色散偏微分方程的起源,如Korteweg-de Vries（KdV）方程、Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程、Zakharov方程、Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程以及非线性薛定谔（NLS）方程,通过不同的时间空间尺度变换以及渐近形式展开,它们从形式上均可由Euler-Maxwell系统得到.在本文中,我们将严格证明量子Euler-Poisson方程组的量子KdV极限（一维）以及量子KP极限（二维）,并严格得到一维情形下离子Euler-Poisson方程组及量子Euler-Poisson方程组的NLS逼近.另外,我们建立了三维情形下无热耗散的Boussinesq-MHD系统光滑强解的整体存在性和唯一性.本文分为以下七个章节.第一章,绪论.本章着重介绍课题的研究背景、相关模型以及发展现状.第二章,考虑一维情形下带有量子效应的Euler-Poisson方程组的量子KdV极限.在时间尺度O(ò-3/2)上,通过Gardner-Morikawa（GM）变换并利用扰动的方法可以从形式上得到量子KdV方程或者无粘Burgers方程.具体地说,当用来描述量子效应的无量纲参数H12时,形式上可得量子KdV方程.而当H（28）2时,形式上可得无粘Burgers方程.本章我们从数学上严格证明此极限过程.首先,将未知函数在平衡态附近进行形式展开,得到极限方程.其次,将极限方程与量子Euler-Poisson方程组结合得到误差方程.为了得到关于误差的一致能量估计,我们主要利用先验估计以及能量方法.在此过程中,量子效应项导致更高阶的偏导数需要处理.第三章,当考虑二维全空间时,在不同的空间尺度变换下,可以从形式上得到量子KP方程.因此本章我们考虑二维全空间?2中量子Euler-Poisson方程组的量子KP极限,此过程与一维情形有很大的区别.首先,在GM变换中,关于x 1方向与x2方向的奇性不同,从而需要带有奇性的先验估计以及能量泛函.其次,由于两个空间方向各向异性,从而在得到一致能量估计的过程中需要对两个方向分开处理.最后,此结果可以推广到n维.第四章,本章考虑一维情形下离子Euler-Poisson方程组的NLS逼近.拟线性二次项的出现会导致两方面的困难.首先,导数的丢失会导致无法得到一致能量估计.其次,由于Euler-Poisson系统的线性化系统拥有连续谱,从而导致共振点的出现.利用形式渐近展开、Normal-Form变换以及定义新的修正能量泛函等措施,我们得到关于误差项的一致能量估计,进而严格证明在时间尺度O(ò-2)上,离子Euler-Poisson方程组的解收敛到以NLS方程的解为复振幅的正弦波解.第五章,本章讨论量子Euler-Poisson方程组的NLS逼近.我们主要利用时空共振方法处理非共振区域,且定义新的能量泛函处理拟线性项.与第四章的方法不同,我们将高低频区域分为三个部分.对于高频部分也即非共振区域,采用时空共振的方法而非Normal-Form变换（本身会损失导数）来处理.对于低频部分也即共振区域,利用Noraml-Form变换定义能量泛函,而非直接利用此变换消除拟线性项.第六章,本章考虑三维情形下无热耗散的Boussinesq-MHD系统光滑强解的整体存在性和唯一性.由于温度变量满足一个输运方程,因此为了得到温度变量的高正则性,我们需要结合关于速度以及磁场的能量估计.进一步,由于多孔介质流体中的Brinkman-Forcheimer-extended-Darcy定律,我们所考虑的系统中包含一个非线性阻尼项.第七章,我们主要概括和总结了本文的主要结果并介绍了我们今后的研究问题.
二、一类非线性波动方程组整体解存在性（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类非线性波动方程组整体解存在性（论文提纲范文）
（1）两类Rosenau方程解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景与意义 |
| 1.2 研究现状和发展态势 |
| 1.3 本文的主要贡献与创新 |
| 1.4 本文的结构安排 |
| 第二章 一类Rosenau方程Cauchy问题解的研究 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一类Rosenau方程Cauchy问题整体解的存在性 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 具Stokes阻尼项的六阶非线性波动方程解的研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 局部解的存在唯一性 |
| 3.3 整体解的存在性 |
| 3.4 解的爆破 |
| 3.5 解的渐近性 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 全文总结与展望 |
| 4.1 全文总结 |
| 4.2 后续工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的成果 |
（2）几类非线性波型方程的定性分析（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 主要结果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 几何奇异摄动理论 |
| 2.2 相关定性分析方法 |
| 第三章 Camassa-Holm-KP方程的孤波解 |
| 3.1 无时滞情形的孤波解 |
| 3.2 时滞情形的孤波解 |
| 第四章 耦合Schr(?)dinger方程组的孤波解 |
| 4.1 无时滞情形的孤波解 |
| 4.2 时滞情形的孤波解 |
| 第五章 两组分Camassa-Holm系统的局部适定性与波裂现象 |
| 5.1 局部适定性 |
| 5.2 波裂现象 |
| 第六章 修正的两组分Camassa-Holm系统的局部适定性与波裂现象 |
| 6.1 局部适定性 |
| 6.2 波裂现象 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（3）两类带有双色散项的非线性发展方程（组）的初边值问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 2 一类带有双色散项的非线性发展方程组的初边值问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 先验估计 |
| 2.3 整体强解的存在性与唯一性 |
| 3 位势井方法在一类带有双色散项的非线性发展方程中的应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 位势井框架的构造及相关引理 |
| 3.3 整体弱解的存在性 |
| 3.4 整体强解的存在性与唯一性 |
| 4 总结 |
| 5 进一步研究的问题 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间取得的研究成果 |
| 附录 |
| 学位论文数据集 |
（4）几类非线性弹性结构的无穷维动力系统研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 动力系统的概述 |
| 1.2.1 无穷维动力系统概述 |
| 1.2.2 随机微分方程与随机动力系统概述 |
| 1.3 本文主要内容 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 无穷维动力系统中的基本定义,定理,概念 |
| 2.2 随机动力系统中的基本定义,定理,概念 |
| 2.3 基本空间和常用不等式 |
| 第三章 一类带有非线性阻尼和外力项的弹性结构的无穷维动力系统研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 解的存在唯一性 |
| 3.3 有界吸收集的存在性 |
| 3.4 整体吸引子的存在性 |
| 3.5 算例分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 具有非线性阻尼和Sine-Gordon- Kirchhoff项弹性结构的无穷维动力系统 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 先验估计 |
| 4.3 解的存在唯一性 |
| 4.4 整体吸引子的存在性 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 一类具有非线性阻尼和白噪声非自治型弹性结构的无穷维动力系统研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 随机动力系统 |
| 5.3 解的存在唯一性 |
| 5.4 拉回吸收集的存在性 |
| 5.5 随机吸引子的存在性 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 一类带有白噪音和Neumann边界条件的弹性结构的无穷维动力系统研究 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 自治随机动力系统 |
| 6.3 解的存在唯一性 |
| 6.4 随机吸引子的存在性 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（5）典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究进展和现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 基本理论 |
| 2.1 孤立子理论中的主要研究方法 |
| 2.2 动力系统分叉理论的研究方法 |
| 2.3 椭圆函数 |
| 第三章 双组份α-DP方程(单奇异线)的孤立波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 双组份系统的奇点类型判断及分叉曲线 |
| 3.3 相图分叉及行波解 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 双组份α-DP方程(双奇异线)的孤立波解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 双组份系统的奇点类型判断及分叉曲线 |
| 4.3 相图分叉及行波解 |
| 4.3.1 相图与行波解的判定 |
| 4.3.2 特殊条件下行波解的精确表达式 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 广义浸入色散K(2,2)方程的孤立波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 首次积分与分支曲线 |
| 5.3 相图分析和各类行波解 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 广义色散项的DP方程的孤立波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 首次积分与分支曲线 |
| 6.3 相图分析和各类行波解 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 Schr?dinger方程在时滞扰动下扭波及反扭波解的稳定性 |
| 7.1 引言与预备知识 |
| 7.2 未扰系统的行波解 |
| 7.3 时滞扰动方程孤立波解的存在性 |
| 7.3.1 局部不变二维流形M_g的存在性 |
| 7.3.2 Melnikov函数的计算以及异宿轨的扰动存在性 |
| 7.4 小结 |
| 第八章 Schr?dinger方程在时滞扰动下周期解的稳定性 |
| 8.1 引言与预备知识 |
| 8.2 未扰系统的行波解 |
| 8.3 时滞扰动方程周期波解的存在性 |
| 8.3.1 局部不变二维流形M_g的存在性 |
| 8.3.2 Melnikov函数的计算以及周期轨的扰动存在性 |
| 8.4 小结 |
| 第九章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的学术成果 |
| 致谢 |
（6）压差方程大初值问题弱解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题研究的发展 |
| 1.2 数学模型和主要结果 |
| 1.3 本文的结构安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 双曲守恒律方程的相关知识 |
| 2.2 Riemann问题的相关知识 |
| 2.3 Glimm格式的预备知识 |
| 第三章 Riemann问题解的存在性 |
| 3.1 压差方程激波曲线的几何性质 |
| 3.2 Riemann问题解的存在性 |
| 第四章 利用Glimm格式证明解的存在定理 |
| 4.1 利用Glimm格式构造近似解 |
| 4.2 近似解的全变差和有界性估计 |
| 第五章 压差方程周期解的存在性 |
| 5.1 近似解的构造 |
| 5.2 近似解的估计 |
| 5.3 周期解的存在性 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的学术论文 |
（7）Kirchhoff椭圆方程和方程组的解的存在性及性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 绪论 |
| 0.1 问题的背景及研究现状 |
| 0.2 本文的主要内容 |
| 0.3 符号说明 |
| 第1章 Kirchhoff型方程解的存在性,唯一性及渐近性态 |
| 1.1 引言及主要结论 |
| 1.2 群作用 |
| 1.3 自然约束的构造 |
| 1.3.1 基态解的约束集 |
| 1.3.2 非径向解的约束集 |
| 1.4 解的存在性和唯一性 |
| 1.4.1 定理1.1.1的证明 |
| 1.4.2 定理1.1.2的证明 |
| 1.5 b→0时解的渐近性态 |
| 第2章 一类具有非线性扰动的波动系统的Pohozaev型基态解和多解性 |
| 2.1 引言及主要结论 |
| 2.2 变分结构 |
| 2.2.1 基态解的约束集 |
| 2.2.2 径向解的约束集 |
| 2.2.3 非径向解的约束集 |
| 2.3 解的存在性证明 |
| 2.3.1 定理2.1.1的证明 |
| 2.3.2 定理2.1.2的证明 |
| 2.3.3 定理2.1.3的证明 |
| 2.4 b_1→0,b_2→0及d→0时解的渐近性态 |
| 第3章 线性耦合的Kirchhoff型椭圆系统 |
| 3.1 引言及主要结论 |
| 3.2 变分框架 |
| 3.2.1 基态解的约束集 |
| 3.2.2 径向解的约束集 |
| 3.2.3 非径向解的约束集 |
| 3.3 解的存在性证明 |
| 3.3.1 定理3.1.1的证明 |
| 3.3.2 定理3.1.2的证明 |
| 3.3.3 定理3.1.3的证明 |
| 3.4 b_1→0,b_2→0及d→0时解的渐近性态 |
| 第4章 带有耦合Kirchhoff项和非线性项的椭圆系统的最低能量解 |
| 4.1 引言及主要结论 |
| 4.2 变分框架 |
| 4.3 定理4.1.1和定理4.1.2的证明 |
| 4.4 总结与讨论 |
| 第5章 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（8）两类非线性波方程（组）解的适定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究对象 |
| 1.2 研究背景 |
| 1.2.1 位势井理论的研究背景 |
| 1.2.2 具α-Laplacian项及粘性项的物理背景 |
| 1.2.3 具α-Laplacian项及粘性项的数学背景 |
| 1.3 本文章节研究内容与研究思路 |
| 第2章 具非线性阻尼项的波方程解的适定性研究 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 次临界能级下整体解的适定性 |
| 2.2.1 次临界能级下整体解的存在性 |
| 2.2.2 次临界能级下整体解的渐近行为 |
| 2.2.3 次临界能级下解的有限时间爆破 |
| 2.3 临界能级下整体解的适定性 |
| 2.3.1 临界能级下整体解的存在性 |
| 2.3.2 临界能级下解的有限时间爆破 |
| 2.4 超临界能级下解的有限时间爆破及爆破时间估计 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 具非线性阻尼项的波方程组解的适定性研究 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 局部解存在性定理 |
| 3.3 次临界能级下整体解的适定性 |
| 3.3.1 次临界能级下整体解的存在性 |
| 3.3.2 次临界能级下整体解的渐近行为 |
| 3.3.3 次临界能级下解的有限时间爆破 |
| 3.4 临界能级下整体解的适定性 |
| 3.4.1 临界能级下整体解的存在性 |
| 3.4.2 临界能级下解的有限时间爆破 |
| 3.5 超临界能级下解的有限时间爆破 |
| 3.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果 |
| 致谢 |
（9）带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 历史背景及研究现状 |
| §1.1.1 Green函数 |
| §1.1.2 半线性拟抛物方程 |
| §1.1.3 广义BBM方程 |
| §1.1.4 磁流体方程(MHD方程) |
| §1.2 本文结构及主要结论 |
| §1.3 记号约定和预备引理 |
| 第二章 半线性拟抛物方程整体解的存在性和大时间行为 |
| §2.1 问题和主要结果 |
| §2.2 Green函数的逐点估计 |
| §2.3 经典解的存在性 |
| §2.4 非线性问题解的逐点估计 |
| §2.5 方程初值与Fujita指标的关系 |
| 第三章 广义BBM方程Cauchy问题大扰动解大时间行为 |
| §3.1 问题和主要结果 |
| §3.2 解的整体存在性 |
| §3.2.1 解的局部存在性 |
| §3.2.2 Green函数的逐点估计及L~p衰减估计 |
| §3.2.3 解的L~p有界性估计和整体存在性 |
| §3.3 解在H~s空间中的衰减估计 |
| §3.3.1 低频部分的H~s衰减估计 |
| §3.3.2 高频部分H~s衰减估计 |
| §3.4 大扰动解的逐点估计 |
| §3.4.1 初值部分的估计 |
| §3.4.2 非线性部分的估计 |
| 第四章 带退化扩散项的广义BBM方程Cauchy问题解的大时间行为 |
| §4.1 问题和主要结果 |
| §4.2 经典解的局部存在性 |
| §4.3 经典解的整体存在性及衰减估计 |
| §4.3.1 解的有界性估计 |
| §4.3.2 解的H~s衰减估计 |
| §4.3.3 解的L~∞衰减估计 |
| 第五章 带退化扩散项的MHD方程组Cauchy问题解的大时间行为 |
| §5.1 问题和主要结果 |
| §5.2 经典解的局部存在性 |
| §5.3 经典解的整体存在性和衰减估计 |
| §5.3.1 解的有界估计 |
| §5.3.2 解的H~s衰减估计 |
| §5.3.3 解的L~∞衰减估计 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位论文期间发表或录用的学术论文目录 |
（10）Euler-Poisson方程组及其相关模型的极限理论研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 问题的历史研究、发展现状及主要结论 |
| 1.1.1 Euler-Poisson方程组及其解的存在性结果 |
| 1.1.2 量子Euler-Poisson方程组及其简化模型 |
| 1.1.3 长波长极限以及非线性薛定谔(NLS)逼近 |
| 1.2 本文的结构 |
| 2 一维量子Euler-Poisson方程组的QKdV极限 |
| 2.1 问题的介绍 |
| 2.2 形式展开和本章节主要结论 |
| 2.3 一致能量估计 |
| 2.3.1 基本估计(证明引理2.3.1.1-2.3.1.3,即利用N_e估计N_i,(?)_tN_e) |
| 2.3.2 零阶,一阶和二阶的估计 |
| 2.3.3 三阶估计 |
| 2.3.4 K_(11)的估计 |
| 2.3.5 K_(12)的估计 |
| 2.3.6 定理2.2.4的证明 |
| 3 二维量子Euler-Poisson方程组的QKP极限 |
| 3.1 问题的介绍 |
| 3.2 形式展开及主要结论 |
| 3.3 一致能量估计 |
| 4 离子Euler-Poisson方程组的NLS逼近 |
| 4.1 问题的提出及主要结果 |
| 4.2 主要思想 |
| 4.3 形式推导NLS方程及余项估计 |
| 4.4 Normal-Form变换 |
| 4.5 误差估计 |
| 5 量子Euler-Poisson方程组的NLS逼近 |
| 5.1 问题介绍与主要结果 |
| 5.2 形式推导NLS方程 |
| 5.3 修正能量与时空共振 |
| 5.3.1 定义修正能量 |
| 5.3.2 关于修正能量的发展方程 |
| 5.3.3 时空共振方法 |
| 5.3.4 应用时空共振方法 |
| 5.3.5 在区域V |
| 5.3.6 在区域W |
| 5.3.7 在区域Z |
| 5.3.8 定理5.1.1的证明 |
| 6 三维无热耗散Boussinesq-MHD系统的整体适定性 |
| 6.1 问题的提出以及主要结果 |
| 6.2 先验估计 |
| 6.2.1 弱解 |
| 6.2.2 强解 |
| 6.3 光滑解 |
| 6.4 唯一性 |
| 7 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A 作者在攻读博士学位期间完成的论文目录 |
| B 作者在攻读博士学位期间参加的科研项目 |
| C 作者在攻读博士学位期间参加的学术会议 |
| D 学位论文数据集 |
| 致谢 |
四、一类非线性波动方程组整体解存在性（论文参考文献）
- [1]两类Rosenau方程解的研究[D]. 华洋. 电子科技大学, 2021(01)
- [2]几类非线性波型方程的定性分析[D]. 李晓婉. 吉林大学, 2021(01)
- [3]两类带有双色散项的非线性发展方程（组）的初边值问题[D]. 黎明堃. 广东技术师范大学, 2020(03)
- [4]几类非线性弹性结构的无穷维动力系统研究[D]. 姚华珍. 太原理工大学, 2020(07)
- [5]典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究[D]. 徐传海. 江苏大学, 2020(01)
- [6]压差方程大初值问题弱解的存在性[D]. 张舒心. 南京航空航天大学, 2020(08)
- [7]Kirchhoff椭圆方程和方程组的解的存在性及性质[D]. 唐秀丽. 福建师范大学, 2019(04)
- [8]两类非线性波方程（组）解的适定性研究[D]. 孟凡玲. 哈尔滨工程大学, 2020
- [9]带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性[D]. 王宇彤. 上海交通大学, 2019(06)
- [10]Euler-Poisson方程组及其相关模型的极限理论研究[D]. 刘慧敏. 重庆大学, 2019(11)