一、一变系数(2+1)维微分方程的BT及其精确解（论文文献综述）
张晓霞[1]（2021）在《几类非线性变系数偏微分方程的精确解》文中进行了进一步梳理目前,非线性发展方程在诸多领域都有着广泛的应用,其中常系数的偏微分方程研究的更加深入.但是,常系数的方程只是实际问题的近似值和理想值.而大多数非线性偏微分方程的系数是和时间、空间有着密切关联的,它们只有将这些因素结合起来研究才更有意义,也更有研究价值.因此,研究变系数偏微分方程,并且探索其解的形式以及背后所蕴含的物理意义是现在研究的重要课题之一.为了丰富变系数偏微分方程的解系,扩充解的有效性,本文主要利用三种方法即改进的Tanh双曲函数展开法、改进的Jacobi椭圆函数展开法中的第二种椭圆方程法及一般形式的Riccati方程法求解变系数Benjamin-Bona-Mahony-Burgers（BBMB）方程、KdV-Burgers-Kuramoto（Benny）方程以及广义变系数Hirota-Satsuma方程组.通过数学计算软件Mathematica求解非线性变系数常微分方程组,解出了大量孤子解.简单分析方法的形式特点,总结其区别与联系,以便在今后的工作中可以更好的运用此方法.最后部分以总结和展望为主进行阐述.首先总结了目前所做的总体工作和取得的研究成果,以及对于非线性发展领域所做的贡献.之后在展望部分,对于求解变系数非线性偏微分方程（组）的孤子解所产生的一些未解决的问题做了阐述说明,以及相应的期许.
张宁[2]（2021）在《几个非线性偏微分方程精确解的求解研究》文中研究指明随着非线性科学涉及到的研究领域越来越广泛,人们对现实世界中发现的非线性现象的研究也越来越深入.由于非线性偏微分方程的精确解可以对非线性现象做出解释,因此非线性偏微分方程精确解的求解始终是非线性科学研究的热点.经过多年的发展,相关学者已经提出了许多求解非线性偏微分方程的有效方法,但这些方法都只对部分非线性偏微分方程有效,目前还没有统一的求解方法与理论.因此,对于非线性偏微分方程需要不断探索新的求解方法并完善现有的求解方法.本文主要对几个非线性偏微分方程精确解的构造进行了研究.首先,阐述了非线性偏微分方程精确解的研究背景及意义,并对求解方法的发展历程做了简单介绍.其次,给出了非线性偏微分方程的概念并介绍了几种常见的求解方法.接着,利用广义的Tanh函数展开法结合Riccati方程的新解,基于行波变换对Benjamin-Ono方程、广义的Zakharov-Kuznetsov方程进行求解,得到了不同类型的精确行波解,丰富了解系.最后,应用广义的Riccati方程映射法,对（2+1）维变系数Boiti-Leon-Pempinelli方程、（2+1）维变系数Broer-Kaup-Kupershmidt方程、（3+1）维Jimbo-Miwa方程进行求解,获得了大量的非行波精确解.充分展示了广义的Tanh函数展开法和广义的Riccati方程映射法的有效性和实用性,也说明了解的假设思想在非线性偏微分方程求解中的重要应用.
唐晓苓[3]（2020）在《非线性偏微分方程的Painlevé分析、对称和精确解》文中提出在非线性偏微分方程精确解的求解过程中,诸多学者发现,求解得到的精确解在理论研究和实际应用上都有重要的意义,通过更深一步的研究发现Painlevé分析方法不仅可以判别非线性偏微分方程的可积性,而且也可以求给定方程的精确解.本文运用Painlevé方法对（2+1）维广义柱KP方程和Hirota-Satsuma方程组进行研究.在第一章中,对（2+1）维广义柱KP方程进行了研究.利用Painlevé方法分析该方程,首先,根据Painlevé分析的WTC方法验证了方程的可积性;其次,通过截断展开法求得方程的新精确解,在求解过程中,可以分析部分解的演化特征.在第二章中,对Hirota-Satsuma方程组进行了分析和研究,首先,对方程组进行首相分析;其次,确定方程组的Painlevé展开式,通过寻找共振点的方法确定原方程组的相容性条件;最后,得到方程组的精确解;通过研究发现,Painlevé方法不仅适用于求单个方程的精确解,也适用于方程组精确解的求解.在第三章中,运用李群分析研究（2+1）维CGKP方程,首先,应用延拓向量场的方法得CGKP方程的生成元.在求解过程中得到（2+1）维CGKP方程所对应的单参数变换群;其次,将（2+1）维CGKP方程化简为（1+1）维的偏微分方程,再将（1+1）维的CGKP偏微分方程简化为常微分方程;最后,利用指数函数等对约化后得到的方程进行求解,得到精确解.在本章的最后,求得了（2+1）维CGKP方程的伴随方程以及守恒律.综上所述,本文的特点是首先把Painlevé分析的WTC方法应用到（2+1）维广义柱KP方程中;其次推广到Hirota-Satsuma方程组中,并求出方程组的精确解;最后将李群分析应用于（2+1）维CGKP方程中,通过对称及相似约化,把（2+1）维的非线性偏微分方程最终降为（1+1）维的、或者降为更易于求精确解的常微分方程,从而得到了方程的精确解.另外,文章最后还构造了（2+1）维CGKP方程的守恒律.
韩松,何晓莹,周红卫,郭艳凤,王素梅[4]（2019）在《一个解非线性方程的必要条件及动态齐次平衡法》文中研究指明对已知的求解非线性偏微分方程方法中不同的辅助方程进行关联性研究,得到其中一些方法的辅助方程均出自于一个导出的二阶驻定（自治）方程及其等价方程,并给出相关的结论;另外给出一个求解非线性偏微分方程的推广的新方法——动态齐次平衡法,并通过实例给出方程的新精确行波解,其中包括新解形式——参数方程形式的隐式精确解.
胡凯丽[5]（2019）在《几类非线性偏微分方程的若干精确解求解研究》文中研究表明众所周知,线性现象简单且容易理解,实际上,在客观世界中,非线性现象才是普遍存在的自然现象,如天气变化、股市波动、水波运动、粒子运动等。为了更加准确地描述这些非线性现象,科学家们对其进行数学建模,得到一系列关于非线性现象的非线性模型,通过对这些模型进行深入研究和分析,从而了解非线性现象的本质和规律。从数学的角度分析,依据非线性现象建立的模型是非线性方程,我们可以通过寻求方程的解来探究模型所刻画现象的内在规律。由于非线性现象涉及多个学科领域,对它们进行研究和分析,逐渐形成了一门全新学科,即非线性科学。近些年来,各界学者对非线性科学的研究有了新的突破,特别是在信息处理和生态环境等领域,非线性科学不但促进了不同学科之间的交叉融合,而且也加快了各学科的发展。本文的工作主要包括以下几个方面:首先概述了非线性科学的起源和发展,介绍了孤立波的发现及发展历程,介绍了符号计算软件Maple及其相关命令。其次,研究了几个非线性偏微分方程的求解方法,并将其归结为两类求解思想,基于每种思想,分别给出了具有代表性的求解方法。接着,对传统的（G’/G2）-展开法做了两个方面的改进,一是将解的幂级数的下限由零改为负数,二是将该方法扩展到三维及以上的非线性系统,得到了新的扩展的（G’/G2）-展开法,利用扩展的（G’/G2）-展开法求解了 BBM方程和（2+1）维BBM方程,从解的形式上分析,得到了三种不同类型的精确解,当取双曲函数通解中的常数为特殊值时,得到了其钟形和反钟形孤立波解。最后,利用指数函数法求解了具有重要物理意义的正则长波方程（RLW方程）和KdV-Burgers方程,得到了方程的孤立波解。
饶瑞文[6]（2019）在《时空分数阶Burgers方程簇的孤子解的研究》文中研究表明在分数阶非线性偏微分方程的精确解的求解研究中符号计算系统扮演重要作用。本文借助Maple这一符号计算软件来精简分数阶非线性偏微分方程求解中的大量微分和代数运算,完成了他们的精确解求解,画出了对应的三维图像。Maple内置了丰富的数学符号计算工具及图形演化绘制工具。精确解图像的绘制可以更加直观的帮助我们来分析非线性模型,更好的了解其性质。随着对自然现象的深入研究,普通非线性模型已经不能满足研究所需,从而分数阶微积分与分数阶非线性偏微方程得到了广泛应用。本文介绍了分数阶微积分3种常用定义:Caputo 定义,Grunwald-Letnikov 定义,Riemann-Liouville 定义,以及结合了上述定义的优点的Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数定义。本文主要运用Li和He提供的分数阶复变换,借助Gamma函数及Jumarie的修正Riemann-Liouville分数阶导数定义来将分数阶非线性偏微分方程转化为整数阶偏微分方程来求解。故而许多常数阶常微分方程的求解方法可用于分数阶偏微分方程。例如Backlund变换法,Riccati方程法,齐次平衡法,指数函数法,辅助方程法等。本文主要以时空分数阶Burgers方程簇中的两个最常用的经典方程:时空分数阶Burgers方程与时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程为研究对象,研究了扩展到负指数幂的exp函数展开法与（G’/G,1/G）-展开法在分数阶非线性偏微分方程精确解求解中的应用。并且得到了时空分数阶Burgers方程与时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程的单波解,双曲函数解,三角函数解,有理函数解。通过对方程的若干行波解中的参数赋值,得到了 M型、周期型、单扭结型、反扭结型、奇异扭结型等多种特殊的孤立波的三维图。最后,将本文中使用的两种求解方法与其他求解方法进行了比较,分析了它们的优缺点。
姜文涛[7]（2019）在《两类（2+1）维BBM型方程的守恒律与精确解问题研究》文中研究表明(2+1)维KP-BBM方程和（2+1）维BBM方程在物理、力学等领域有着广泛的应用.其中（2+1）维KP-BBM方程应用于流体中长波单向传播模型,（2+1）维BBM方程主要描述的是某种非线性散射系统中长波的单向传播模型.本文运用经典的Lie对称分析方法和双约化方法,对两类（2+1）维BBM型方程的精确解和守恒律问题进行了研究,主要研究的内容与成果如下:本文第一部分研究的是一种特殊的广义（2+1）维Kadomtsov-Petviashivilli-Benjamin-Bona-Mahony（KP-BBM）方程.根据Lie对称分析,得到5个无穷小的生成子并计算得到满足守恒律条件的两个生成子的守恒形式.通过使用双约化理论,将广义KP-BBM方程化简为两种常微分方程形式,最后通过解这些常微分方程来得到原方程的精确解,并且通过选择适当的参数,给出这些解的图像.本文第二部分研究了（2+1）维Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程的Lie对称,守恒律,双约化和方程的精确解.首先运用乘子方法得到BBM方程的两个守恒向量,接下来,运用广义双约化理论将偏微分BBM方程约化成常微分方程,最后运用Sine-Cosine方法求出约化后的常微分方程的新的精确解,并将其一部分图像呈现出来.对于这两类（2+1）维BBM型方程的研究,有助于更好地理解水波动力学模型的运动轨迹.
李雨[8]（2019）在《几类微分方程高阶数值积分法的理论分析》文中研究表明微分方程被广泛应用于表述自然界与工程技术中的诸多现象。由于大多数微分方程的解析解很难精确给出,因此对微分方程数值解法的研究就显得尤为重要。数值积分法是利用方程的常数变易公式或等价的积分形式而建立的一类数值方法。例如,一阶半线性常微分方程的指数积分法,二阶振荡微分方程的扩展RungeKutta-Nystr?m方法以及非线性分数阶常微分方程的乘积积分法等。数值积分法往往具有精度高、稳定性好和保结构等性质。本文针对几类微分方程构造了高阶的数值积分法,并给出了这些方法的收敛性、稳定性以及保结构性质的理论分析。本文主要工作包括以下几个方面:分析了延迟微分方程的显式指数一般线性方法的收敛性和稳定性。在某些假设下,证明了延迟微分方程的显式指数一般线性方法保持了常微分方程的指数一般线性方法的内级阶和收敛阶。针对线性试验方程,研究了指数一般线性方法的线性稳定性,给出了线性稳定的充分条件。对于非线性延迟微分方程,证明了在某些条件下指数一般线性方法的GRN-稳定性。构造了二阶振荡常微分方程的多导数扩展Runge-Kutta-Nystr?m方法。该方法利用了二阶振荡常微分方程的常数变易公式,充分考虑了由方程的线性项所带来的结构特征,数值格式中不但包含右端函数项还包含右端函数的导数项。增加的导数项使得该方法具有更高的内级阶,也更易于构造高阶方法。研究了该方法的收敛性、保能量性质、稳定性和相性质。构造了非线性Riesz空间分数阶波动方程的高阶保能量数值方法。利用加权平移的Lubich差分算子构造了Riesz空间分数阶导数的一种四阶估计方法。应用这种估计方法对方程进行了半离散,讨论了半离散系统的稳定性和收敛性,证明了半离散系统能够精确地保持半离散能量。利用扩展Runge-Kutta-Nystr?m方法构造了全离散格式,并说明了全离散格式的高阶收敛性和保能量性质。提出了非线性分数阶常微分方程的平移Legendre乘积积分法。该方法是利用与非线性分数阶常微分方程等价的第二类弱奇异Volterra积分方程和局部傅里叶展开构造的。证明了该方法对于光滑问题在理论上能够达到任意阶,并说明了该方法在稳定性方面的优势。
朱帅[9]（2019）在《动力学问题的高精度算法及其在燃气轮机工程的探索》文中研究指明本文是燃气轮机工程和计算数学相结合的一篇论文,是一个跨专业跨学科的研究成果。燃气轮机和航空发动机有着极其广泛的应用,它们不仅是国防装备中的关键,而且在国民经济中的电力、能源开采和输送、分布式能源系统领域具有不可替代的战略地位和作用。动力学是燃气轮机和航空发动机的重要理论基础。燃气轮机中发动机的动态特性、压气机和涡轮通流部分的非定常场流动、高温部件冷却过程的非定常传热传质过程、燃烧室中与燃烧相关的化学物理过程……都涉及动力学的问题,这些重要过程的合理组织都必须在动力学指导下进行。动力学又是数学家高度重视而为之做出贡献的领域,为了用“科学计算”解决动力学问题,他们把长期在牛顿力学系统中展开的动力学问题转到Hamilton力学系统,构造合适的辛几何算法,从而提高“科学计算”的有效性和可靠性。本文根据燃气轮机动力学问题（工程热物理范畴）的需要,在Hamilton力学系统表达中,利用有限元方法离散框架,设计求解Hamilton系统的新型高精度算法。数值求解线性Hamilton系统的诸多辛算法虽然可以保证系统的结构特性,但仍存在较大的相位误差和能量误差。本文针对线性Hamilton系统提出“无相位误差加权间断时间有限元方法（WDG-PDF）”。WDGPDF方法利用间断时间有限元方法在节点不连续的特性,设计可以保证无相位误差的加权权重,并通过对传递矩阵的处理实现算法保辛。本文给出了WDG-PDF方法保辛和无相位误差证明。WDG-PDF方法在保辛和无相位误差的同时,数值上Hamilton函数误差达到计算机舍入误差量级。因此对于线性Hamilton系统,无相位误差加权间断时间有限元方法是最优的选择。本文针对非线性Hamilton系统,提出“自适应时间有限元方法（ATFEM）”。近年来自适应高效算法在求解动力学问题中得到广泛应用,但是现有的自适应算法求解Hamilton系统往往不能保证Hamilton系统的固有特性（能量守恒、辛结构等）。A-TFEM方法利用时间有限元方法的后验误差估计,设计自适应指标Θ,当自适应指标Θ大于预设的误差范围上界,则缩小计算步长;当自适应指标Θ小于预设误差范围下界,则增加计算步长。本文给出了A-TFEM方法的保能量以及保辛特性的证明,从理论上证明算法的保能量及高精度保辛性质。选取具有典型意义的非线性Hamilton系统,利用A-TFEM方法进行数值仿真,数值实验验证了理论分析结果。燃气轮机动态过程的计算长期在牛顿力学系统中进行,本课题组将该问题纳入Hamilton力学系统进行表述。研究表明上述“A-TFEM方法”非常适合于燃气轮机动态过程的数值计算,明显地提高计算效率。数值结果显示“A-TFEM方法”较以前求解该模型的“FSJS算法”在能量守恒以及计算精度上都有较大的改进。燃气轮机工程中的许多动力学问题必须用偏微分方程来描述,最典型的就是流动的控制方程——Navier-Stokes方程。数学家做了大量的研究工作,构建了诸多数值求解模型和算法。为了避免数值求解NavierStokes方程中遇到的鞍点问题,数学家提出了不同的解耦方法。Gauge方法是基于Navier-Stokes方程的Hamilton形式而发展的着名的解耦算法,然而Gauge方法在计算实践中还存在不少有待解决的问题。针对Gauge方法的诸多问题本文提出了“改进Gauge方法（MGM）”,MGM方法是Navier-Stokes方程数值求解格式上的创新。本文一方面给出了MGM方法稳定性分析和速度及压力的误差估计,即从理论上证明算法的有效性;另一方面,利用MGM方法计算了流体力学中的经典模型,数值实验验证了理论分析结论。MGM方法不仅适用于Navier-Stokes方程,而且可推广应用到更复杂的偏微分方程,例如Boussinesq方程。
黄丽丽[10]（2019）在《非局域对称与非线性波的若干问题研究》文中研究表明本文基于符号计算,利用非局域对称方法、双线性方法和特征线法,研究了若干非线性可积模型的对称性、非线性波解、波破裂现象等.主要包括五个方面的工作:利用非局域对称方法研究可积系统的相互作用解及局部激发态现象;利用CRE方法研究系统的CRE可解性及精确解;利用Hirota双线性方法研究孤立波、lump、呼吸子和怪波四类非线性波;基于Maple平台开发了用于构造可积方程lump解的LumpSol程序包和lump与孤子相互作用解的InterSol程序包;利用特征线法研究受科氏力影响的Camassa-Holm型浅水波模型的波破裂现象及全局强解存在条件.具体内容如下:第一章为绪论部分,重点介绍了对称理论、非线性波、受科氏力影响的浅水波模型和符号计算的研究背景及其发展现状,并阐述了本论文的选题和主要工作.第二章研究了Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota（DSSH）系统、2+1维KdV方程和reduced Maxwell-Bloch（RMB）系统的非局域对称、延拓系统、相似约化及相互作用解,首次通过非局域对称方法构造了RMB系统的局部激发态解.首先,基于Lax对构造了DSSH系统的非局域对称;基于Lax对和Painlev′e截断展开两种方式分别给出2+1维KdV方程的非局域对称;基于Painlev′e截断展开法得到RMB系统的非局域对称.基于Lax对方法和Painlev′e截断展开方法构造的非局域对称及原系统约化后的Schwarz形式是一致的.这里得到了非线性波之间的相互作用解,包括孤立波分别与椭圆余弦波、有理解、Painlev′e波和周期波的相互作用解.特别是,推导出RMB系统的一些新的局部激发态,如怪波、呼吸子及其他非线性波.第三章研究了广义Kadomtsev-Petviashvili（gKP）方程、修正BogoyavlenskiiSchiff（mBS）方程和RMB系统的CRE可解性和精确解.首先,基于Painlev′e截断展开法得到三个系统的相容Riccati展开式,进而验证三个系统的CRE可解性和CTE可解性.然后利用CTE方法,分别研究了三个系统的孤立波和孤立波与椭圆余弦波相互作用解.最后,通过图形详细讨论这些相互作用解的动力学行为及特征.第四章研究了3+1维广义KP方程和2+1维Sawada-Kotera方程的非线性波解.首先,利用Hirota双线性方法和长波极限法得到3+1维广义KP方程的四种类型的非线性波:孤立波、lump、呼吸子和怪波,以及这些非线性波之间的相互作用解.然后利用Hirota双线性方法和函数拟设法,推导出2+1维Sawada-Kotera方程的lump解、lump和线孤子之间的相互作用解,并且发现其lump解和线孤子之间的相互作用是完全非弹性碰撞.最后,基于Maple软件平台,首次开发了用于构造可积系统lump解的LumpSol程序包和lump与线孤子相互作用解的InterSol程序包,并通过应用到不同的具体实例来验证两个软件包的有效性和便利性.第五章研究了受科氏力影响的Camassa-Holm型浅水波方程,该方程可作为在赤道洋流区域内,由于地球自转受科氏力影响的长峰浅水波传播的渐近模型,并且与材料学中的可压缩超弹性rod模型有关.该模型具有哈密顿结构,其对应于物理上相关的初始扰动的解在较长的时间尺度上更精确.研究结果表明在波破裂意义下,受科氏力影响的Camassa-Holm型方程的解在有限时间内爆破.基于动力学的局部结构进行了精细分析,从而给出了波破裂现象.同时,还研究了地球自转引起的科氏力和非局域高阶非线性项对爆破准则和波破裂现象的影响.最后给出了该方程在某些特殊情况下存在全局强解的一个充分条件.第六章对全文工作进行总结和讨论,并对今后的研究工作做了进一步的展望。
二、一变系数(2+1)维微分方程的BT及其精确解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一变系数(2+1)维微分方程的BT及其精确解（论文提纲范文）
（1）几类非线性变系数偏微分方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 变系数偏微分方程介绍 |
| 1.3 研究方法综述 |
| 1.4 研究的主要内容 |
| 第二章 改进的Tanh双曲函数展开法及其应用 |
| 2.1 改进的Tanh双曲函数展开法的基本理论 |
| 2.2 变系数BBMB方程的求解 |
| 2.3 精确解的图像及分析 |
| 2.4 本章小节 |
| 第三章 第二种椭圆方程法及其应用 |
| 3.1 第二种椭圆方程法的基本理论 |
| 3.2 变系数Benny方程的求解 |
| 3.3 精确解图像及分析 |
| 3.4 本章小节 |
| 第四章 一般形式的Riccati方程法及其应用 |
| 4.1 一般形式的Riccati方程法的基本理论 |
| 4.2 广义变系数Hirota-Satsuma方程组的求解 |
| 4.3 精确解的图像及分析 |
| 4.4 本章小节 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 讨论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（2）几个非线性偏微分方程精确解的求解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 非线性偏微分方程求解方法发展概况 |
| 1.3 本文的主要工作及结构安排 |
| 2 非线性偏微分方程及常见求解方法 |
| 2.1 非线性偏微分方程 |
| 2.2 非线性偏微分方程常见解法 |
| 2.2.1 齐次平衡法 |
| 2.2.2 (G'/G)展开法 |
| 2.2.3 Jacobi椭圆函数展开法 |
| 2.2.4 首次积分法 |
| 3 求解非线性偏微分方程的广义的Tanh函数展开法 |
| 3.1 广义的Tanh函数展开法方法介绍 |
| 3.2 Benjamin-Ono方程的精确解 |
| 3.3 广义的Zakharov-Kuznetsov方程的精确解 |
| 4 广义的Riccati方程映射法及其应用 |
| 4.1 广义的Riccati方程映射法方法概述 |
| 4.2 (2+1)维变系数Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解 |
| 4.3 (2+1)维变系数Broer-Kaup-Kupershmidt方程的精确解 |
| 4.4 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的精确解 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的科研成果 |
| 后记 |
（3）非线性偏微分方程的Painlevé分析、对称和精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 前言 |
| 第一章 (2+1)维广义柱KP方程的Painlevé分析 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 (2+1)维广义柱KP方程的Painlevé分析 |
| 1.3 (2+1)维广义柱KP方程的精确解及其解图像 |
| 1.4 结论 |
| 第二章 Hirota-Satsuma方程组的Painlevé分析 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Hirota-Satsuma方程组的Painlevé分析 |
| 2.3 Hirota-Satsuma方程组的精确解 |
| 2.4 结论 |
| 第三章 (2+1)维CGKP方程的对称约化和精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 (2+1)维CGKP方程的李群分析 |
| 3.3 (2+1)维CGKP方程的对称约化 |
| 3.4 (2+1)维CGKP方程的精确解 |
| 3.5 (2+1)维CGKP方程的守恒律 |
| 3.6 结论 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
（4）一个解非线性方程的必要条件及动态齐次平衡法（论文提纲范文）
| 0引言 |
| 1辅助函数方程的关联性研究及其结论 |
| 2动态齐次平衡法 |
| 3应用 |
| 4结论 |
（5）几类非线性偏微分方程的若干精确解求解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性科学的研究背景与意义 |
| 1.1.1 从线性科学到非线性科学 |
| 1.1.2 非线性科学的研究意义 |
| 1.2 孤立波及其发展 |
| 1.3 符号计算系统 |
| 1.4 论文章节安排 |
| 第二章 非线性偏微分方程及其求解方法 |
| 2.1 非线性偏微分方程 |
| 2.2 非线性偏微分方程精确解研究现状 |
| 2.3 非线性偏微分方程求解方法 |
| 2.3.1 基于经验的精确解的假设求解方法 |
| 2.3.2 基于非线性变换的精确解求解方法 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 求解非线性模型的扩展的(G'/G~2)-展开法 |
| 3.1 扩展的(G'/G~2)-展开法 |
| 3.2 BBM方程的精确解 |
| 3.3 (2+1)维BBM方程的精确解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 指数函数法及其应用 |
| 4.1 指数函数法 |
| 4.2 正则长波方程的精确解 |
| 4.3 KdV-Burgers方程的精确解 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
（6）时空分数阶Burgers方程簇的孤子解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 背景 |
| 1.1 非线性科学 |
| 1.2 非线性偏微分方程 |
| 1.3 孤立波与KdV方程 |
| 1.4 论文主要工作 |
| 第2章 分数阶微积分 |
| 2.1 分数阶导数由来及发展 |
| 2.2 几类重要的分数阶导数 |
| 2.3 分数阶偏微分方程 |
| 2.4 分数阶复变换 |
| 2.5 分数阶偏微分方程的求解方法 |
| 2.5.1 B(?)cklund变换法 |
| 2.5.2 Riccati方程法 |
| 2.5.3 齐次平衡法 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 拓展的exp函数展开法及其应用 |
| 3.1 拓展的exp函数展开法 |
| 3.2 exp函数展开法求解时空分数阶Burgers方程 |
| 3.3 exp函数展开法求解时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 (G'/G,1/G)-展开法及其应用 |
| 4.1 (G'/G,1/G)-展开法 |
| 4.2 (G'/G,1/G)-展开法求解时空分数阶Burgers方程 |
| 4.3 (G'/G,1/G)-展开法求解时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程 |
| 4.4 不同求解方法的比较 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
（7）两类（2+1）维BBM型方程的守恒律与精确解问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 (2+1)维BBM型方程及其精确解的研究现状 |
| 1.3 Lie对称原理简介 |
| 1.4 非局部守恒律及乘子的守恒律 |
| 1.5 双约化理论简介 |
| 1.6 本文的主要工作 |
| 第二章 (2+1)维KP-BBM方程的精确解与守恒律 |
| 2.1 (2+1)维KP-BBM方程的守恒律分析 |
| 2.2 (2+1)维KP-BBM方程的双约化 |
| 2.3 (2+1)维KP-BBM方程的精确解 |
| 2.4 小结 |
| 第三章 (2+1)维BBM方程的守恒律与精确解 |
| 3.1 (2+1)维BBM方程对称分析 |
| 3.2 乘子方法构造守恒律分析 |
| 3.3 (2+1)维BBM方程的双约化 |
| 3.4 (2+1)维BBM方程的精确解 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 结论与展望 |
| 4.1 总结 |
| 4.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 硕士期间发表论文 |
（8）几类微分方程高阶数值积分法的理论分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 指数积分法 |
| 1.3 乘积积分法 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 第2章 延迟微分方程的显式指数一般线性方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 显式指数一般线性方法的收敛性 |
| 2.2.1 数值格式 |
| 2.2.2 收敛性分析 |
| 2.2.3 数值实验 |
| 2.3 显式指数一般线性方法的稳定性 |
| 2.3.1 线性稳定性 |
| 2.3.2 非线性稳定性 |
| 2.3.3 数值实验 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 二阶振荡微分方程的多导数ERKN方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 MDERKN方法及阶条件 |
| 3.3 MDERKN方法的性质 |
| 3.4 导数值的估计方法 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 非线性Riesz空间分数阶波动方程的高阶保能量方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 能量守恒律 |
| 4.3 空间半离散 |
| 4.3.1 Riesz分数阶导数的高阶近似方法 |
| 4.3.2 半离散系统及其性质 |
| 4.4 半离散系统的时间积分法 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 分数阶常微分方程的平移Legendre乘积积分法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 SLPI法的数值格式 |
| 5.3 SLPI法的性质 |
| 5.3.1 SLPI法的收敛性 |
| 5.3.2 迭代的收敛条件 |
| 5.3.3 SLPI法的线性稳定性 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（9）动力学问题的高精度算法及其在燃气轮机工程的探索（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号表 |
| 主要缩写表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外的研究现状 |
| 1.2.1 Hamilton系统的数值算法 |
| 1.2.2 时间有限元方法 |
| 1.2.3 线性Hamilton系统数值算法的不足 |
| 1.2.4 非线性Hamilton系统数值算法的不足 |
| 1.2.5 非线性偏微分方程(Navier-Stokes方程)的数值算法 |
| 1.3 本文的主要工作及创新点 |
| 1.3.1 本文主要工作 |
| 1.3.2 本文主要构成及创新点 |
| 第二章 Hamilton系统及其数值方法 |
| 2.1 Hamilton系统 |
| 2.2 Hamilton系统的辛结构 |
| 2.2.1 辛算法 |
| 2.2.2 常见的辛算法 |
| 2.3 Hamilton系统的守恒规律 |
| 2.4 数值算例阐明Hamilton系统的特性 |
| 2.4.1 辛算法对系统结构的保持 |
| 2.4.2 辛算法对系统守恒规律的保持 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 时间有限元方法求解Hamilton系统 |
| 3.1 时间间断有限元方法的基本知识 |
| 3.2 时间间断有限元方法求解线性Hamilton系统 |
| 3.2.1 无相位误差加权间断时间有限元方法(WDG-PDF) |
| 3.2.2 WDG-PDF算法数值算例 |
| 3.3 自适应时间有限元方法求解非线性Hamilton系统 |
| 3.3.1 自适应时间有限元算法(A-TFEM) |
| 3.3.2 自适应时间有限元方法的保辛和保能量特性 |
| 3.4 自适应时间有限元方法数值算例 |
| 3.4.1 Vander Pol振荡器 |
| 3.4.2 单摆运动 |
| 3.4.3 Huygens振子 |
| 3.4.4 三重旋转反对称Hamilton系统 |
| 3.4.5 Henon-Heiles系统 |
| 3.4.6 Kepler系统 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 燃气轮机动态过程的时间有限元方法 |
| 4.1 燃气轮机的动态过程的数学模型 |
| 4.1.1 牛顿形式 |
| 4.1.2 Hamilton形式 |
| 4.2 有精确解的燃气轮机动态过程的数学模型 |
| 4.2.1 模型一 |
| 4.2.2 模型二 |
| 4.3 三轴燃气轮机动态过程的时间有限元仿真 |
| 4.3.1 供油规律与转子转动角速度呈线性关系 |
| 4.3.2 供油规律与转子转动角速度呈抛物线关系 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 偏微分方程(Navier-Stokes方程)数值方法的研究分析 |
| 5.1 混合有限元方法(GRPC) |
| 5.2 投影法 |
| 5.3 增量压力矫正算法(IPCS) |
| 5.4 Gauge方法 |
| 5.5 Gauge Uzawa方法 |
| 5.6 小结 |
| 第六章 改进Gauge算法(MGM) |
| 6.1 改进Gauge方法(MGM) |
| 6.1.1 MGM算法基本方程及计算过程 |
| 6.1.2 边界条件讨论 |
| 6.1.3 初值条件 |
| 6.2 MGM算法有限元离散方案及求解 |
| 6.2.1 MGM方法α?p的选择 |
| 6.2.2 MGM方法空间有限元离散 |
| 6.2.3 MGM时间有限元离散 |
| 6.2.4 时间层采用向后欧拉差分 |
| 6.2.5 MGM方法计算流程 |
| 6.2.6 时空步长的选择 |
| 6.2.7 代数方程组求解器选择 |
| 6.3 稳定性和误差分析 |
| 6.4 MGM方法数值算例 |
| 6.4.1 二维方腔环流(有解析解) |
| 6.4.2 [0, 1] × [0, 1] 方腔驱动问题 |
| 6.4.3 圆柱绕流 |
| 6.4.4 后台阶流 |
| 6.4.5 双出口Y型流场 |
| 6.4.6 Beltrami流(3D) |
| 6.4.7 三维的圆球绕流 |
| 6.4.8 MGM方法求解Boussinesq方程 |
| 6.5 叶型和叶栅流动 |
| 6.5.1 绕NACA叶型流动 |
| 6.5.2 轴流压气机叶栅中的流动 |
| 6.6 小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 附录 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的论文 |
（10）非局域对称与非线性波的若干问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 对称理论 |
| 1.2 非线性波 |
| 1.3 受科氏力影响的浅水波模型 |
| 1.4 符号计算 |
| 1.5 选题和主要工作 |
| 第二章 非局域对称及相关研究 |
| 2.1 DSSH系统的非局域对称及精确求解 |
| 2.2 2+1维KdV方程的非局域对称及精确求解 |
| 2.3 RMB系统的非局域对称及精确求解 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 相容Riccati展开法及应用 |
| 3.1 相容Riccati展开法的介绍 |
| 3.2 gkp方程的CRE可解性及相互作用解 |
| 3.3 mBS方程的CRE可解性及相互作用解 |
| 3.4 RMB系统的CRE可解性及相互作用解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 非线性波及程序化实现 |
| 4.1 3+1维广义KP方程的非线性波及相互作用解 |
| 4.2 2+1维Sawada-Kotera方程的lump解及相互作用解 |
| 4.3 构造可积方程精确解的机械化算法 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 关于受科氏力影响的浅水波模型研究 |
| 5.1 广义rotation-Camassa-Holm方程的推导 |
| 5.2 爆破准则 |
| 5.3 波破裂现象 |
| 5.4 爆破速率 |
| 5.5 整体存在性 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 本文总结 |
| 6.2 未来工作展望 |
| 附录A 程序包LumpSol代码 |
| 附录B 程序包InterSol代码 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表论文、参与科研和获得荣誉情况 |
四、一变系数(2+1)维微分方程的BT及其精确解（论文参考文献）
- [1]几类非线性变系数偏微分方程的精确解[D]. 张晓霞. 内蒙古工业大学, 2021(01)
- [2]几个非线性偏微分方程精确解的求解研究[D]. 张宁. 新疆师范大学, 2021
- [3]非线性偏微分方程的Painlevé分析、对称和精确解[D]. 唐晓苓. 聊城大学, 2020(08)
- [4]一个解非线性方程的必要条件及动态齐次平衡法[J]. 韩松,何晓莹,周红卫,郭艳凤,王素梅. 广西科技大学学报, 2019(04)
- [5]几类非线性偏微分方程的若干精确解求解研究[D]. 胡凯丽. 陕西师范大学, 2019(06)
- [6]时空分数阶Burgers方程簇的孤子解的研究[D]. 饶瑞文. 陕西师范大学, 2019(06)
- [7]两类（2+1）维BBM型方程的守恒律与精确解问题研究[D]. 姜文涛. 昆明理工大学, 2019(04)
- [8]几类微分方程高阶数值积分法的理论分析[D]. 李雨. 哈尔滨工业大学, 2019(01)
- [9]动力学问题的高精度算法及其在燃气轮机工程的探索[D]. 朱帅. 上海交通大学, 2019(06)
- [10]非局域对称与非线性波的若干问题研究[D]. 黄丽丽. 华东师范大学, 2019(09)